BAB
I
PENDAHULUAN
- Latar Belakang
Regresi artinya peramalan, penaksiran, atau pendugaan
pertama kali di perkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galton (1822 –
1911). Sehubungan dengan penelitiannya terhadap tinggi manusia. Penelitian
tersebut membandingkan antara tinggi
anak laki-laki dan tinggi badan ayahnya.
- Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam makalah ini yaitu :
Ø Bagaimana
menggunakan persamaan linear berganda
- Tujuan Penulisan
Adapun tujuan penulisan makalah ini yaitu :
1.
Mengetahui penggunaan
rumus-rumus yang berlaku pada regresi dan kolinear berganda
2.
Pengaplikasikan
rumus-rumus regresi dan kolinear berganda pada suatu penelitian
BAB
II PEMBAHASAN
- REGRESI BERGANDA
Regresi, perpanjangan regresi sederhana (dimana satu variabel mengeksplorasi variasi lain), meneliti
hubungan antara variabel dependen dan dua atau lebih
variabel independen. Regresi ganda
bertahap memprediksi nilai
variabel dependen menggunakan variabel bebas, dan juga meneliti pengaruh, atau
kepentingan relatif masing-masing
variabel independen terhadap variabel
dependen.
Perhitungan regresi berganda adalah kompleks dan di luar ruang lingkup pembahasan singkat ini. Paket analisis statistik perangkat lunak sering melakukan perhitungan. Namun, sebelum penggunaan perangkat lunak tersebut, penting untuk meninjau petunjuk pengguna dan prosedur pembahasannya. Sedangkan analisis regresi biasanya dilakukan pada selang atau rasio. Data tingkat dalam distribusi normal, dengan variabel yang dipilih secara acak, paket ini dapat menghubungkan data dan melakukan tes untuk tingkat ukuran lain.
Perhitungan regresi berganda adalah kompleks dan di luar ruang lingkup pembahasan singkat ini. Paket analisis statistik perangkat lunak sering melakukan perhitungan. Namun, sebelum penggunaan perangkat lunak tersebut, penting untuk meninjau petunjuk pengguna dan prosedur pembahasannya. Sedangkan analisis regresi biasanya dilakukan pada selang atau rasio. Data tingkat dalam distribusi normal, dengan variabel yang dipilih secara acak, paket ini dapat menghubungkan data dan melakukan tes untuk tingkat ukuran lain.
Persamaan untuk regresi berganda menyerupai
regresi sederhana. Perbedaannya dengan regresi berganda, yang beberapa variabel
independen masing-masing memiliki koefisien regresi sendiri. Menggunakan
pilihan yang tersedia , in StatPac Gold , untuk regresi berganda, adalah
mungkin untuk menghasilkan statistik deskriptif (mean dan deviasi standar),
statistik regresi (termasuk kesalahan standar dari estimasi beberapa), koefisien
regresi, matriks korelasi, dan sebagainya. Beberapa studi yang dilaporkan dalam
Gambar memberikan tabel yang menunjukkan koefisien korelasi berganda dan nilai
variabel r2 dimasukkan ke dalam model regresi berganda. Koefisien
korelasi berganda menunjukkan seberapa baik nilai-nilai prediksi variabel
dependen berkorelasi dengan nilai-nilai yang sebenarnya. Tentu saja, semakin
tinggi korelasi, semakin baik prediksi. Koefisien determinasi dalam regresi
linear sederhana : ------- % dari variasi dalam satu variabel dapat diprediksi
dengan mengetahui nilai atau poin untuk variabel kedua.
- REGRESI LINEAR BERGANDA
- Hubungan liniear lebih dari dua variabel
Regresi artinya peramalan penaksiran atau pendugaan pertama
kali diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galtoon (1822-1911). Analisis
regresi digunakan untuk menentukan bentuk dari hubungan antar variabel. Tujuan
utama dalam penggunaan analisis itu adalah untuk meramalkan atau memperkirakan
nilai dari suatu variabel dalam hubungannya dengan variabel yang lain.
Disamping hubungan linear dua variabel, hubungan linear dari dua variabel bisa
juga terjadi misalnya; hubungan antara hasil penjualan dengan harga dan daya
beli.
Hubungan linear lebih dari dua variabel bila dinyatakan dalam
bentuk persamaan matematis adalah :
Y = a + b1x1 + b2x2
+……………bkxk +
Keterangan :
x, x1, x2……..xk = variabel-variabel
a, b1, b2……..bk = bilangan konstan
(konstanta) koefisien variabel
- Persamaan regresi linear berganda
Regresi linear berganda adalah regresi dimana variabel
terikatnya (Y) dihubungkan atau
dijelaskan lebih dari satu variabel, mungkin dua, tiga dan seterusnya variabel
bebas (x, x1, x2……..xn ) namun
masih menunjukkan diagram hubungan yang linear.
Penambahan variabel bebas ini diharapkan dapat lebih
menjelaskan karakteristik hubungan yang ada walaupun masih saja ada variabel
yang terabaikan.
Dalam praktek
sebetulnya banyak sekali faktor yang mempengaruhi suatu variabel dependen y,
tidak hanya satu variabel. Contoh yang paling nyata adalah pembelian produk
oleh konsumen. Pembelian produk oleh konsumen tidak hanya dipengaruhi oleh
faktor harga, tatapi juga bisa dipengaruhi oleh faktor iklan produk, preferensi
konsumen, keterjangkauan produk, dan fitur produk. Untuk membuat analisis
pengaruh berbagai macam faktor independen terhadap satu variabel dependen kita
menggunakan analisis regresi berganda.
Analisis Regresi Berganda
Dalam analisis regresi linier
sederhana, rumus regresi dirumuskan
dengan y = a + bx. Untuk regresi berganda lebih dari satu variabel independen
x. Rumus regresinya adalah :
Y
= a + b1x1 + b2x2 +
.................+e
Dimana : x1, x2,
x3 ...adalah variabel independen
a : konstanta
b1 adalah koefisien perubahan y dengan x2 dan x2
konstan
b2
adalah koefisien perubahan y bila x2 konstant dengan x1
dan x3 konstan
b3
adalah koefisien perubahan y bila x3 berubah dengan x1 dan
x2 konstan
e adalah error
Rumus regresi
diatas adalah untuk regresi dengan dua variabel independen x, kita bisa
juga memperluas jumlah variabel
independen x misal menjadi tiga variabel
independen (x) sehingga rumus regresinya adalah:
Y1
= a + b1x1 + b2x2 + b3x3
Persamaan
regresi diatas apabila kita bisa perluas dengan n variabel independen maka
rumus regresi adalah:
Y1
= a + b1x1 + b2x2 + b3x3
+..............+ bnxn
Untuk
mendapatkan persamaan regresi diatas nilai konstanta dan slope regresi dicari
dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Sebagai contoh untuk dua variabel
independen metode Least square adalah sebagai berikut:
ΣY
= na + b1x1 + b2x2
ΣX1Y
= a ΣX1 + b1 ΣX12 + b2
ΣX1X2
ΣX2Y
= a ΣX2 + b1 ΣX22 X2
+ b2 ΣX22
Apabila jumlah
variabel independen diperluas menjadi ke-k
variabel maka metode least square adalah sebagai berikut:
ΣY = na + b1Σx1
+ b2 Σx2 + b3x3 + ……………+ bk
ΣXk
ΣX1Y = a ΣX1 + b1
ΣX12 + b2 ΣX1X2+ b3
ΣX1X3 +……+ bk ΣX1Xk
ΣX2Y = a ΣX2 + b1
ΣX1 X3 + b2 ΣX22 + b3
ΣX2 X3 +……+ bk Σ(X2Xk)
ΣX3Y = a ΣX3 + b1
ΣX1 X3 + b2 ΣX2 X3 + b3
ΣX32 +……+ bk Σ(X3Xk)
ΣXkY = a ΣXk + b1
ΣX1 Xk + b2 ΣX2 Xk + b3
ΣX3Xk +……+ bk ΣXk2
Untuk
mendapatkan nilai a, b, dan b2 kita menggunakan perkalian matriks
dengan prediksi dua variabel independen, persamaan matriks yang digunakan
adalah sebagai berikut:
H = bA. A
b = A-1.H dimana A-1 = 
dimana det A,
A = 
Det A = n. Σx12 Σx22 + Σx1.
Σx1x2 .Σx2 + Σx2. Σx1x2
.Σx1 - Σx2. Σx12
.Σx2 - Σx1x2 . Σx1x2.n -
Σx22. Σx1. Σx1
Det A1 = Σy Σx12Σx22
+ Σx1. Σx1x2 .Σ2y + Σx2.
Σx1x2 .Σx1y - Σx2y.
Σx12 .Σx2 - Σx1x2
. Σx1x2. Σy - Σx22. Σx1.
Σx1y
Det A2 = n. Σx1y Σx22 + Σy. Σx1x2
.Σx2 + Σx2. Σx2y .Σx1
- Σx2. Σx1y .Σx2 – Σx2y
. Σx1x2.n - Σx22. Σy. Σx1
Det A3 = n Σx12. Σx2y + Σx1.Σx1y
.Σx2 + Σy. Σx1x2 .Σx1
- Σx2. Σx12 .Σy – Σx1x2.
Σx1y.n - Σx2y. Σx1. Σx1
Dimana nilai a, b1, b2
bisa didapatkan dengan cara sebagai berikut:
a
= 
b1
= 
b2
= 
b1
= b2
=
Untuk mengetahui lebih jelas berikut
adalah contoh penerapan regresi berganda.
Contoh:
Seorang manager
perusahaan ingin mengetahui pengaruh dari jumlah periklanan di koran (X1) dan jumlah periklanan di radio (X2), terhadap volume penjualan (Y) dalam setahun selama 10
tahun. Data yang dikumpulkan adalah sebagai berikut:
Tabel Jumlah Iklan Koran (X1),
Radio (X2) dan Volume penjualan (Y)
No
|
X1
|
X2
|
Y
|
1
|
6
|
8
|
15
|
2
|
6
|
8
|
15
|
3
|
6
|
9
|
16
|
4
|
7
|
9
|
17
|
5
|
7
|
9
|
17
|
6
|
7
|
9
|
17
|
7
|
7
|
9
|
18
|
8
|
8
|
10
|
18
|
9
|
8
|
10
|
18
|
10
|
8
|
10
|
18
|
Jumlah
|
70
|
91
|
169
|
Manager tersebut
ingin mengetahui pengaruh dari jumlah iklan di tv dan koran selama setahun
terhadap volume penjualan. Buatkanlah persamaan regresi untuk menjawab hal
tersebut.
Jawab :
Untuk mendapatkan persamaan regresi kita membuat tabel seperti berikut:
Tabel
Least Square Methode
NO
|
X1
|
X2
|
Y
|
X12
|
X22
|
Y2
|
X1X2
|
X1Y
|
X2Y
|
1
|
6
|
8
|
15
|
36
|
64
|
225
|
48
|
90
|
120
|
2
|
6
|
8
|
15
|
36
|
64
|
225
|
48
|
90
|
120
|
3
|
6
|
9
|
16
|
36
|
81
|
256
|
54
|
96
|
144
|
4
|
7
|
9
|
17
|
49
|
81
|
289
|
63
|
119
|
153
|
5
|
7
|
9
|
17
|
49
|
81
|
289
|
63
|
119
|
153
|
6
|
7
|
9
|
17
|
49
|
81
|
289
|
63
|
119
|
153
|
7
|
7
|
9
|
18
|
49
|
81
|
324
|
63
|
126
|
162
|
8
|
8
|
10
|
18
|
64
|
100
|
324
|
80
|
144
|
180
|
9
|
8
|
10
|
18
|
64
|
100
|
324
|
80
|
144
|
180
|
10
|
8
|
10
|
18
|
64
|
100
|
324
|
80
|
144
|
180
|
Jumlah
|
70
|
91
|
169
|
496
|
833
|
2.869
|
642
|
1.191
|
1.545
|
ΣY = na + b1x1
+ b2x2
ΣX1Y
= a ΣX1 + b1
ΣX12 + b2 ΣX1X2
ΣX2Y = a ΣX2 + b1
ΣX1 X2 + b2 ΣX22
169
= 10.a + b1. 70 +
b2 91
1.191
= a. 70 + b1.
496+ b2. 642
1.545
= a. 91 + b1. 642
+ b2. 833
Dalam perkalian matriks A. b = c b = A-1.c
x 
= 
A x
b = c
Dengan aturan
perkalian matriks, persamaan regresi didapatkan dengan cara mencari determinan
matrik A, A1, A2, A3 sebagai berikut:
Det A =
(10 x 496 x 833) + (70 x 642 x 91) + ( 91x 642 x 70 – (91 x 496 x 91) – (642 x
642 x 10) – (833 x 70 x 70)
= 44
Det A1 = (169 x 496 x 833) + (70 x
642 x 1.545) + (91 x 642 x 1.191) – (1.545 x 496 x 91) - (642 x 642 x 169) –
(833 x 70 x1.191)
= 248
Det A2 = (10 x 1.191 x 833) + (169 x 642 x 91) + ( 91 x 1.545 x
70) – (91 x 1.191 x 91) – (1.545 x 642 x 10) – (833 x 169 x 70)
= 37
Det A3 = (10 x 496 x 1.545) + (70 x 1.191 x
91) + (169 x 642 x 70) - (91 x 496 x
169) – (642 x 1.191 x 10) – (1.545 x 70 x 70)
= 26
Dari perhitungan diatas kita
bisa mencari koefisien a, b1, b2 dengan perhitungan sebagai berikut:
a = 
= 
= 5,6
b1 = 
= 
= 0,84
b2 = 
=
= 0,59
Dengan demikian kita bisa
menyatakan persamaan regresinya sebagai
berikut:
Y = 5,6 + 0,84 X1
+ 0,59 X2
- Pendugaan dan Pengujian Koefisien Regresi
1)
Kesalahan baku regresi
dan koefisien regresi berganda
Kesalahan baku atau selisih taksir standar regresi adalah
nilai menyatakan seberapa jauh menyimpangnya nilai regresi tersebut terhadap
nilai sebenarnya. Nilai ini digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan suatu
pendugaan dalam menduga nilai. Jika nilai ini sama dengan nol maka penduga
tersebut memiliki tingkat ketepatan 100%.
Kesalahan baku atau selisih taksir standar regresi berganda
dirumuskan :
Se = 
Keterangan :
Se = Kesalahan
baku regresi berganda
n = Jumlah
pasangan observasi
m = jumlah
konstant dalam persamaan regresi berganda.
Untuk koefisien b1 dan b2 kesalahan
bakunya dirumuskan :
Sb1 = 
Sb2 = 
2)
Pendugaan interval
koefisien regresi berganda (parameter B1 dan B2)
Parameter B1 dan B2 sering juga
disebut sebagai koefisien regresi parsial. Pendugaan parameter B1
dan B2 menggunakan distribusi t dengan derajat bebas db = n – m
secara umum pendugaan parameter B1 dan B2 adalah :
b1 – ta/2n-m
Sbi £ Bi £
bi + ta/2n-m Sbi
i = 2,3
3)
Pengujian hipotesis
koefisien regresi berganda (parameter B1 dan B2)
Pengujian hipotesis bagi koefisien regresi berganda atau
regresi parsial parameter B1 dan B2 dapat dibedakan
menjadi 2 bentuk, yaitu pengujian
hipotesis serentak dan pengujian hipotesis individual.
Pengujian hipotesis individual yaitu merupakan pengujian
hipotesis koefisien regresi berganda dengan hanya satu B (B1 dan B2)
yang mempunyai pengaruh Y. pengujian hipotesis serentak merupakan pengujian
hipotesis koefisien regresi berganda dengan B1 dan B2
serentak atau bersama-sama mempengaruhi Y.
- Peramalan dengan Regresi Linear Berganda
Peramalan terhadap nilai Y dengan menggunakan regresi linear
berganda, dapat dilakukan apabila persamaan garis regresinya sudah diestimasi
dan nilai variabel bebas x1, x2 sudah diketahui.
Suatu persamaan garis regresi linear berganda dapat dipakai
dalam peramalan dengan terlebih dahulu melakukan pengujian hipotesis terhadap
koefisien-koefisien regresi parsialnya. Tujuan ialah mengetahui
variabel-variabel bebas yang digunakan itu memiliki pengaruh yang nyata atau tidak terhadap y tersebut.
Variabel bebas x1 dan x2 disebut memiliki pengaruh yang
nyata apabila dalam pengujian hipotesis koefisien parsialnya H0 : B1
= B2 = 0 ditolak atau H1 : B1 ¹
B2 ¹ 0 diterima, khususnya pada taraf nyata
1%
Kelebihan peramalan y dengan menggunakan regresi linear
berganda adalah dapat diketahui besarnya pengaruh secara kuantitatif setiap
variabel bebas (x1 atau x2) apabila pengaruh variabelnya
dianggap konstan. Misalnya sebuah persamaan regresi berganda
y = a + b1x1 + b2x2
Keterangan :
y :
Nilai statistik mahasiswa
x1 : Nilai inteligensi mahasiswa
x2 : Frekuensi membolos mahasiswa
b1 : Pengaruh x1 terhadap y jika x2 konstan
b2 : Pengaruh x2 terhadap y jika x1 konstan
jika a = 17,547; b1 = 0,642; b2 = -
0,284 maka persamaan regresi linear bergandanya menjadi
= 17,547 + 0,624 (75) – 0,284 (4)
Dengan persamaan regresi linear berganda tersebut, nilai y
(nilai statistik maha siswa) dapat diramalkan dengan mengetahui nilai x1
(nilai inteligensi mahasiswa) dan x2 (frekuensi membolos mahasiswa)
misalkan, nilai x1 = 75 dan x2 = 24 maka ramalan nilai y
adalah
= 17,547 + 0,624
(75) – 0,284 (4)
=
63.211
Penulisan persamaan garis regresi linear berganda biasanya
disertai dengan kesalahan baku masing-masing variabel bebas dan koefisien
determinasi berganda r2, sebagai ukuran tepat atau tidaknya garis
tersebut sehingga pendekatan.
BAB
III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
- Regresi linear berganda
terbagi dua yaitu hubungan linear dari dua variabel dan persamaan regresi
linear berganda
- Pendugaan dan pengujian
koefisien regresi yaitu
1)
Kesalahan baku regresi
dan koefisien regresi berganda
2)
Pendugaan interval
koefisien regresi berganda
3)
Pengujian hipotesis
koefisien regresi berganda
- Korelasi linear berganda
terbagi dua yaitu :
1) Korelasi linear berganda dengan dua variabel
bebas
1)
Korelasi linear
berganda dengan tiga variabel bebas.
B.
Saran
Agar strategi pembelajaran statistik berjalan dengan baik,
harusnya setiap materi di bahas dengan sedetail mungkin, agar perkuliahan ini
berjalan dengan lancar.
DAFTAR
PUSTAKA
Anto,
Dajan, 1991. Pengantar Metode Statistik. Jilid 2. Jakarta : LP3 S
Arif,
Karseno. 1995. Statistik I. Jakarta:
Karunika
Hasan,
Ikbal. 2003. Pokok-pokok Materi Statistik 2. Jakarta: Bumi Aksara.
KATA
PENGANTAR
Dengan rahmat Tuhan Yang Maha Esa penyusunan makalah regresi
berganda telah dapat diselesaikan telah dapat diselesaikan. Makalah ini
merupakan makalah yang sederhana, hanya membahas secara singkat materi regresi
linear berganda.
Makalah ini dibuat sebagai tugas kelompok dalam perkuliahan
Analisis Korelasi dan Regresi. Mudah-mudahan makalah ini berguna bagi kita
semua terutama bagi mahasiswa matematika.
Kepada semua berbagai pihak yang turut membantu penyusunan
makalah ini, penyusunan ucapkan banyak terima kasih. Segala kritik dan saran
yang bersifat konstruktif untuk penyempurnaan isi makalah dari siapa pun
datangnya, penyusun akan menerima dan menyambut dengan segala kerendahan hati.
Pancor, Maret 2014
Penulis
DAFTAR
ISI
KATA
PENGANTAR ............................................................................................. i
DAFTAR
ISI ............................................................................................................ ii
BAB
I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
A.
Latar Belakang ........................................................................................ 1
B.
Rumusan Masalah ................................................................................... 1
C.
Tujuan Penulisan ..................................................................................... 1
BAB II PEMBAHASAN ........................................................................................ 2
A.
Regresi Linear
Berganda ........................................................................ 2
1.
Hubungan linear lebih
dari dua variabel ........................................... 2
2.
Persamaan regresi
linear berganda .................................................... 2
B.
Pendugaan dan
Pengujian Koefisien Regresi ......................................... 3
1.
Kesalahan baku regresi
dan koefisien regresi berganda .................... 3
2.
Pendugaan interval
koefisien regresi berganda ................................. 4
3.
Pengujian hipotesis
koefisien regresi berganda ................................. 4
C.
Peramalan dengan
Regresi Linear Berganda .......................................... 5
D.
Korelasi Linear
Berganda ....................................................................... 7
1.
Korelasi linear
berganda dengan dua variabel bebas ........................ 7
2.
Korelasi linear
berganda dengan tiga variabel bebas. ....................... 8
BAB III PENUTUP ................................................................................................. 9
A.
Kesimpulan ............................................................................................. 9
B.
Saran ....................................................................................................... 9
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 10